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El multiplo de 2000 más pequeño que es suma de los primeros cuadrados--Solución

plicando la fórmula de la suma de cuadrados no es muy dificil de ver que el problema consiste en encontrar el número entero $ n>0 $ más pequeño tal que $ 12 000 $ divide a $ n(n+1)(2*n + 1) $.

Para encontrar dicho número observemos primero que $ n $, $ n+1 $ y $ 2n+1 $ son primos relativos por parejas.

Una vez observado que no tiene primos comunes, procedemos a factorizar $ 12 000 = 2^5 \cdot 3 \cdot 5^3 $.

Notemos entonces que para que 12 000 divida a $ n(n+1)(2n+1) $ debe $ 5^3 $ debe dividr a dicho producto, y por no tener primos comunes $ 5^3 $ debe dividir a uno y sólo uno de los factore.

Caso I.

$ 5^3=125 $ divide a $ 2n+1 $.

Entonces, $ 125t = 2n + 1 $, de donde se observa que $ t $ debe ser impar, esto significa que $ t=2k+1 $.

Substituyendo $ t $ por $ 2k+1 $ se obtiene que $ 125(2k+1) = 2n+1 $, y despejando $ n $ de la igualdad se llega a que $ n = 125k + 62 $.

Por otro lado, $ n $ o $ n+1 $ deben ser pares, por lo que $ 2^5=32 $ (factor de $ 12 000 $) debe dividir a alguno de los dos.

Caso I.a.

$ 32 $ divide a $ n $.

Es decir, $ 32 $ divide a $ 125k+62 $. Usando métodos de congruencia se puede despejar $ k $ de la congruencia $ 125k +62 \equiv 0 $ módulo $ 32 $. Y ee llega a que $ k \equiv 10 $ módulo $ 32 $.

Entonces, el número $ n $ más pequeño que satisface este caso (el I.a) se obtiene con $ k=10 $, es decir, $ n=1312 $.

No es muy dificil de ver que $ 1312 $ satisface la condición deseada: $ 12 000 $ divide a $ n(n+1)(2n+1) $.

Caso I.b

$ 32 $ divide a $ n+1 $.

Es decir, $ 32 $ divide a $ 125k+63 $. De donde se sigue que $ k \equiv 21 $ módulo $ 32 $. Entonces, el número $ n $ más pequeño en este caso es $ 2688 $, que es más grande que $ 1312 $ (el encontrado en el caso anterior).

En consecuencia, para el caso I, el $ n $ más pequeño es $ 1312 $.

Caso II.

$ 125 $ divide a $ n+1 $

Ahora bien, haciendo un análisis similar para el caso II (cuando $ 125 $ divide a $ n+1 $) y el caso III ( cuando 125 divide a $ n $) se obtienen los número $ 2624 $ en el caso II; y $ 1375 $ en el III. En resumen, el número más pequeño que satisface la condición es $ 1312 $ (el del caso I).

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numeros\problemas\el_multiplo_de_2000_mas_pequeno_que_es_suma_de_los_primeros_cuadrados\solucion.txt · Última modificación: 18/Oct/2008 21:27 por jesus